高數(shù)證明題思想總結(jié)（分享十八篇）
發(fā)表時(shí)間：2019-12-04高數(shù)證明題思想總結(jié)（分享十八篇）。
? 高數(shù)證明題思想總結(jié)
已知：——世界是什么樣子的？
——哲學(xué)家告訴我們“？”和“！”求證：“？”和“！”證明：
？中國的紂王自焚于鹿臺(tái)。紂王：“我是天子，上天為什么不保佑我？”
！周王姬發(fā)在百姓歡呼聲中榮登大殿！姬發(fā)：“天助我也！”
？一個(gè)大腹便便的富有商賈看著滿桌的美味佳肴大發(fā)脾氣：“這些東西太難吃了！我真是不幸，沒遇到個(gè)好廚師，我怎么這樣倒霉？”
！一個(gè)衣衫襤褸的貧民得到了一塊面包。他欣喜若狂：“我太幸運(yùn)了！”
？小居里夫婦看著桌上的報(bào)紙懊悔萬分：“我們才是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)中子的人，為什么前幾年我們與它擦肩而過？”
！查德威克看著報(bào)紙上自己宣稱發(fā)現(xiàn)中子的頭版新聞非常滿意，“我的付出終于有了回報(bào)了，我發(fā)現(xiàn)了中子！”
？廣東一女法官發(fā)表高論：“中國應(yīng)效仿新加坡高薪養(yǎng)廉，為什么我們中國的公務(wù)員工資僅有兩千元？”
！辛勤工作了一個(gè)月的中小學(xué)教師們興高采烈地去領(lǐng)幾百元的工資：“國家還不富裕，我們已經(jīng)不錯(cuò)了！八億農(nóng)民還不富裕！”
？城里孩子：“為什么我的父親不是百萬富翁？他們真沒用，不能給我安排一個(gè)好一點(diǎn)的工作，還讓我去讀那些無聊的書！”
！農(nóng)村孩子：“父親母親為了供我們讀書太辛苦了，我一定要好好讀書，珍惜這來之不易的機(jī)會(huì)！”
結(jié)論：
如果你只是一味的攫取，貪得無厭，得寸進(jìn)尺，不好好把握機(jī)會(huì)，你的世界只有“？”；如果你懂得愛護(hù)別人，珍惜所擁有的一切，把握每一次機(jī)遇，你的世界便會(huì)充滿“！”
所以：
世界是怎樣的？答案是：“？”和“！”
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一、不定積分計(jì)算方法
1.湊微分法
2.裂項(xiàng)法
3.變量代換法
1)三角代換
2)根冪代換
3)倒代換
4.配方后積分
5.有理化
6.和差化積法
8.降冪法
二、定積分的計(jì)算方法
1.利用函數(shù)奇偶性
2.利用函數(shù)周期性
3. 參考不定積分計(jì)算方法
三、定積分與極限
1.積和式極限
2.利用積分中值定理或微分中值定理求極限
3.洛必達(dá)法則
4.等價(jià)無窮小
四、定積分的估值及其不等式的應(yīng)用
1.不計(jì)算積分，比較積分值的大小
1)比較定理：若在同一區(qū)間[a,b]上，總有
f(x)>=g(x),則>= ()dx
2)利用被積函數(shù)所滿足的不等式比較之a(chǎn))
b)當(dāng)0 2.估計(jì)具體函數(shù)定積分的.值 積分估值定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且其最大值為M，最小值為m則 M(b-a)<= <=M(b-a) 3.具體函數(shù)的定積分不等式證法 1)積分估值定理 2)放縮法 3)柯西積分不等式 ≤ % 4.抽象函數(shù)的定積分不等式的證法 1)拉格朗日中值定理和導(dǎo)數(shù)的有界性 2)積分中值定理 3)常數(shù)變易法 4)利用泰勒公式展開法 五、變限積分的導(dǎo)數(shù)方法 1、經(jīng)驗(yàn)總結(jié) (1)定積分的定義：分割—近似代替—求和—取極限 (2)定積分幾何意義： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相a 反數(shù) (3)定積分的基本性質(zhì)： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定積分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定義法：分割—近似代替—求和—取極限②利用定積分幾何意義 ’③微積分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 幾何證明 1、如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度數(shù) 2、已知∠BED=∠B+∠D，試說明AB與CD的位置關(guān)系 3、如圖，EB∥DC，∠C=∠E，請(qǐng)你說出∠A=∠ADE的理由。 4、如圖，已知AB//CD，AE//CF，求證：?BAE??DCF AEFCD B 5、 如圖，AB//CD，AE平分?BAD，CD與AE相交于F,?CFE??E。求證： AD//BC。 6、如圖，已知AB//CD，?B?40，CN是?BCE的平分線，? A D F B C E CM?CN，求?BCM的度數(shù)。 7、如圖若FD//BE，求?1??2??3的度數(shù) A N M C D E 第三題 o 8、如圖已知?C??AOC，OC平分?AOD，OC?OE?C?63求?D，?BOF的度 數(shù) 第四題 9、已知如圖DB//FG//EC，若?ABD?60，?ACE?36AP平分?BAC求?PAG的度數(shù) 第五題 10、，已知如圖AC//DE，DC//FE，CD平分?BCA，那么EF平分?BED？為什么？ B 11.1）已知三角形三邊長分別是4,5,6-x,求x的取值范圍 （2）已知三角形三邊長分別是m，m-1，m+1，求m的取值范圍 oo 12、 在?ABC中，?B?70?BAC:?BCA?3:2，CD?AD垂足為D且?ACD?35 oo 求?BAE的度數(shù) ?A?50o?D?44 13. 已知AC，BD交與O，BE，CE分別平分?ABD,?ACD且交與E，o 求?E的度數(shù)。 E o 14、 ?ACE?90AC=CE，B為AE上的一點(diǎn)，ED?CB于D，AF?CB交CB的延長 線于F，求證：AF=CD 第22題 15，已知AB=CD，BC=DA，E，F(xiàn)為AC上的兩個(gè)點(diǎn)，且AE=CF，求證BF//DE 第23題 16、 AD，BC交于D，BE?AD于E,DF?BC于F且AO=CO,BE=DF,求證 ＡＢ＝ＣＤ o 17、 中AB=AC，?BAC?90分別過BC做過A點(diǎn)的直線的垂線，垂足為D,E,求證DE=BD+CE 第25題 1. 已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E。M為AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)ME,MD、ED 證明： ∵M(jìn)為AB邊的中點(diǎn)，AD⊥BC， BE⊥AC，∴ MD=ME=MA=MB(斜邊上的中線=斜邊的一半)∴△MED為等腰三角形∵M(jìn)E=MA ∴∠MAD=∠MDA, ∴∠BMD=2∠MAD, ∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC 2. 如圖，已知四邊形ABCD中，AD=BC,E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，AD、 BC的延長線與EF的延長線交于點(diǎn)H、D 證明：連接AC，作EM‖AD交AC于M，連接MF.如下圖： ∵E是CD的中點(diǎn)，且EM‖AD， ∴MF‖BC，且MF=1/2BC. ∵AD=BC， ∴EM=MF，三角形MEF為等腰三角形，即∠MEF=∠MFE. ∴∠AHF=∠BGF. 3. 寫出“等腰三角形兩底角的'平分線相等”的逆命題，并證明它是一個(gè)真命題 這是經(jīng)典問題,證明方法有很多種,對(duì)于初二而言, 如圖,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求證:AB=AC 證明: BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC) ==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB) 則BECF為平行四邊形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC.....(1) ==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC...(2) 所以AB=AC。 作三角形ABC,CD,BE為角C,B的角平分線，交于AB,BE.兩平分線交點(diǎn)為O 連結(jié)DE,即DE平行BC，所以三角形DOC與COB相似。 有DO/DC=EO/EB,又EB=DC所以DO=EO,三角形COB為等腰 又因?yàn)锽E和DC是叫平分線，所以容易得出角C=角B(這個(gè)打出來太麻煩了)，即ABC為等腰。 已知：回眸曾經(jīng)過的那段青春歲月，拾起記憶的碎片，用心去拼接，忽然發(fā)現(xiàn)其間竟涌動(dòng)著一種酸酸甜甜的感覺。 求證：這種感覺叫長大。 證明：我覺得自己變得虛偽了。現(xiàn)在的我，不再像以前那樣相信別人的每一句話，我不會(huì)把自己真實(shí)的想法流露出來，原因之一：我們班的同學(xué)嘴巴太大，我怕被他們看不起。之二：我不想讓別人把我看透，我怕到了關(guān)鍵時(shí)候黔驢技窮。我學(xué)會(huì)了欺騙，我學(xué)會(huì)了掩飾，我學(xué)會(huì)了狡辯、、、、、、朋友有事相求時(shí)，我明明能伸出友誼之手，卻假裝傷心地說了句愛莫能助，看著朋友失望離去的背影，我竟無動(dòng)于衷、、、、、、長大，就是懂得虛偽。 我漸漸地多愁善感了。現(xiàn)在的我，不再像以前那樣樂觀活潑。我認(rèn)為靜夜，是沒一個(gè)孤獨(dú)者永遠(yuǎn)無法承受的時(shí)光，偶爾流星的穿越會(huì)被我想成一串悲哀的音符，劃過湛藍(lán)的天際，打破漂流瓶中的沉寂。抬頭仰望夜空，想：多年后，是不是還有人記得我這個(gè)女孩？我是不是會(huì)被完全遺忘，在黑暗的角落里永遠(yuǎn)都浮不出水面呢？長大，就是變得多愁善感。 我已經(jīng)有了自己的主見。現(xiàn)在的我，不再像以前那樣做著明天做老師，后天當(dāng)醫(yī)生的夢，我愛上了文字，一發(fā)不可收拾地在它的懷抱中跳躍。很遙遠(yuǎn)的夢，我卻要在那里，踏下自己最堅(jiān)定的腳步。固然，天使的翅膀會(huì)折斷，玫瑰的花香會(huì)消失，雪必將被春天融化，而我的信念，卻永遠(yuǎn)不曾蒼老。長大，就是開始有自己的主見。 結(jié)論：長大，這種酸酸甜甜的感覺，就是懂得虛偽，變得多愁善感，開始有自己的主見。 初一幾何證明題答案 圖片發(fā)不上來，看參考資料里的 1如圖，ab⊥bc于b，ef⊥ac于g，df⊥ac于d，bc=df。求證：ac=ef。 2已知ac平分角bad，ce垂直ab于e，cf垂直ad于f，且bc=cd （1）求證：△bce全等△dcf 3、 如圖所示，過三角形abc的頂點(diǎn)a分別作兩底角角b和角c的平分線的垂線，ad垂直于bd于d，ae垂直于ce于e，求證：ed||bc. 4、 已知，如圖，pb、pc分別是△abc的外角平分線，且相交于點(diǎn)p。 求證：點(diǎn)p在∠a的平分線上。 回答人的補(bǔ)充2014-07-1900:101.在三角形abc中，角abc為60度，ad、ce分別平分角bac角acb,試猜想，ac、ae、cd有怎么樣的數(shù)量關(guān)系 2、把等邊三角形每邊三等分，經(jīng)其向外長出一個(gè)邊長為原來三分之一的小等邊三角形，稱為一次生長，如生長三次，得到的多邊形面積是原三角形面積的幾倍 求證：同一三角形的重心、垂心、三條邊的中垂線的交點(diǎn)三點(diǎn)共線。（這條線叫歐拉線）求證：同一三角形的三邊的中點(diǎn)、三垂線的垂足、各頂點(diǎn)到垂心的線段的中點(diǎn)這9點(diǎn)共圓。~~（這個(gè)圓叫九點(diǎn)圓） 3、證明：對(duì)于任意三角形，一定存在兩邊a、b，滿足a比b大于等于1，小于2分之根5加1 4、已知△abc的三條高交于垂心o，其中ab=a，ac=b,∠bac=α。請(qǐng)用只含a、b、α三個(gè)字母的式子表示ao的長（三個(gè)字母不一定全部用完，但一定不能用其它字母）。 5、設(shè)所求直線為y=kx+b(k,b為常數(shù)。k不等于0)。則其必過x-y+2=0與x+2y-1=0的交點(diǎn)(-1,1)。所以b=k+1,即所求直線為y=kx+k+1(1)過直線x-y+2=0與y軸的交點(diǎn)(0,2)且垂直于x-y+2=0的直線為y=-x+2(2)。直線(2)與直線(1)的交點(diǎn)為a,直線(2)與直線x+2y-1=0的交點(diǎn)為b,則ab的中點(diǎn)為(0,2)，由線段中點(diǎn)公式可求k. 6、在三角形abc中，角abc=60,點(diǎn)p是三角abc內(nèi)的一點(diǎn)，使得角apb=角bpc=角cpa,且pa=8pc=6則pb=2p是矩形abcd內(nèi)一點(diǎn)，pa=3pb=4pc=5則pd=3三角形abc是等腰直角三角形，角c=90o是三角形內(nèi)一點(diǎn)，o點(diǎn)到三角形各邊的距離都等于1，將三角形abc饒點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度得三角形a1b1c1兩三角形的公共部分為多邊形klmnpq，1)證明：三角形akl三角形bmn三角形cpq都是等腰直角三角形2)求三角形abc與三角形a1b1c1公共部分的面積。 已知三角形abc,a,b,c分別為三邊。求證:三角形三邊的平方和大于等于16倍的根號(hào)3（即:a2+b2+c2大于等于16倍的根號(hào)3） 初一幾何單元練習(xí)題 一。選擇題 1、如果α和β是同旁內(nèi)角，且α=55°，則β等于() (a)55°(b)125°(c)55°或125°(d)無法確定 2、如圖19-2-(2) ab‖cd若∠2是∠1的2倍，則∠2等于() (a)60°(b)90°(c)120°(d)150 3、如圖19-2-(3) ∠1+∠2=180°，∠3=110°，則∠4度數(shù)() (a)等于∠1(b)110° (c)70°(d)不能確定 4、如圖19-2-(3) ∠1+∠2=180°，∠3=110°，則∠1的度數(shù)是() (a)70°(b)110° (c)180°-∠2(d)以上都不對(duì) 5、如圖19-2(5)， 已知∠1=∠2，若要使∠3=∠4，則需() (a)∠1=∠2(b)∠2=∠3 (c)∠1=∠4(d)ab‖cd 6、如圖19-2-(6)， ab‖cd，∠1=∠b，∠2=∠d，則∠bed為() (a)銳角(b)直角 (c)鈍角(d)無法確定 7、若兩個(gè)角的一邊在同一條直線上，另一邊相互平行，那么這兩個(gè)角的關(guān)系是() (a)相等(b)互補(bǔ)(c)相等且互補(bǔ)(d)相等或互補(bǔ) 8、如圖19-2-（8)ab‖cd，∠α=(） (a)50°(b)80°(c)85° 答案：1.d2.c3.c4.c5.d6.b7.d8.b 初一幾何第二學(xué)期期末試題 1、兩個(gè)角的和與這兩角的差互補(bǔ)，則這兩個(gè)角() a.一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角b.都是鈍角 c.都是直角d.必有一個(gè)直角 2、如果∠1和∠2是鄰補(bǔ)角，且∠1>∠2，那么∠2的余角是() 3、下列說法正確的是() a.一條直線的垂線有且只有一條 b.過射線端點(diǎn)與射線垂直的直線只有一條 c.如果兩個(gè)角互為補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定是鄰補(bǔ)角 d.過直線外和直線上的兩個(gè)已知點(diǎn)，做已知直線的垂線 4、在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系可能有() a.平行或相交b.垂直或平行 c.垂直或相交d.平行、垂直或相交 5、不相鄰的兩個(gè)直角，如果它們有一條公共邊，那么另一邊互相() a.平行b.垂直 c.在同一條直線上d.或平行、或垂直、或在同一條直線上 答案：1.d2.c3.b4.a5.a回答人的補(bǔ)充2014-07-1900:211.如圖所示，一只老鼠沿著長方形逃跑，一只花貓同時(shí)從a點(diǎn)朝另一個(gè)方向沿著長方形去捕捉，結(jié)果在距b點(diǎn)30cm的c點(diǎn)處捉住了老鼠。已知老鼠與貓的速度之比為11：14，求長方形的周長。設(shè)周長為x.則a到b的距離為x/2;x/2-30:x/2+30=11:14x=500cm如圖，梯形abcd中，ad平行bc，∠a=2∠c，ad=10cm，bc=25cm，求ab的長解：過點(diǎn)a作ab‖de。∵ab‖de，ad‖bc∴四邊形adeb是平信四邊形∴ab=de，ad=be∵∠deb是三角形dec的外角∴∠deb=∠cde+∠c∵四邊形adeb是平信四邊形∴∠a=∠deb又∵∠a=2∠c，∠deb=∠cde+∠c∴∠cde+∠c∴de=ce∵ad=10，bc=25，ad=be∴ce=15=de=ab如圖：等腰三角形abcd中，ad平行bc，bd⊥dc，且∠1=∠2，梯形的周長為30cm，求ab、bc的長。因?yàn)榈妊菪蝍bcd，所以角abc=角c，ab=cd，ad//bc所以角adb=角2，又角1=角2，所以角1=角2=角adb，而角abc=角c=角1+角2且角2=角adb所以角adb+角c=90度，所以有角1+角2+角adb=90度所以角2=30度因此bc=2cd=2ab所以周長為5ab=30所以ab=6，bc=12回答人的補(bǔ)充2014-07-0311:25如圖：正方形abcd的邊長為4，g、f分別在dc、cb邊上，dg=gc=2，cf=1.求證：∠1=∠2（要兩種解法提示一種思路：連接并延長fg交ad的延長線于k） 1、連接并延長fg交ad的延長線于k∠kgd=∠fgc∠gdk=∠gcfbg=cg△cgf≌△dgkgf=gkab=4bf=3af=5ab=4+1=5ab=afag=ag△agf≌△agk∠1=∠2 2、延長ac交bc延長線與e∠adg=∠ecg∠agd=∠egcdg=gc△adg≌△egf∠1=∠ead=ceaf=5ef=1+4=5∠2=∠e所以∠1=∠2如圖，四邊形abcd是平行四邊形，be平行df，分別交ac于e、f連接ed、bf求證∠1=∠2 答案：證三角形bfe全等三角形def。因?yàn)閒e=ef，角bef=90度=角dfe，df=be（全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等）。所以三角形bfe全等三角形def。所以∠1等于∠2（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） 就給這么多吧~~n累~！回答人的補(bǔ)充2014-07-1900:341已知δabc，ad是bc邊上的中線。e在ab邊上，ed平分∠adb。f在ac邊上，fd平分∠adc。求證：be+cf>ef。 2已知δabc，bd是ac邊上的高，ce是ab邊上的高。f在bd上，bf=ac。g在ce延長線上，cg=ab。求證：ag=af，ag⊥af。 3已知δabc，ad是bc邊上的高，ad=bd，ce是ab邊上的高。ad交ce于h，連接bh。求證：bh=ac，bh⊥ac。 4已知δabc，ad是bc邊上的中線，ab=2，ac=4，求ad的取值范圍。 5已知δabc，ab>ac，ad是角平分線，p是ad上任意一點(diǎn)。求證：ab-ac>pb-pc。 6已知δabc，ab>ac，ae是外角平分線，p是ae上任意一點(diǎn)。求證：pb+pc>ab+ac。 7已知δabc，ab>ac，ad是角平分線。求證：bd>dc。 8已知δabd是直角三角形，ab=ad。δace是直角三角形，ac=ae。連接cd，be。求證：cd=be，cd⊥be。 9已知δabc，d是ab中點(diǎn)，e是ac中點(diǎn)，連接de。求證：de‖bc，2de=bc。 10已知δabc是直角三角形，ab=ac。過a作直線an，bd⊥an于d，ce⊥an于e。求證：de=bd-ce。 等形2 1已知四邊形abcd，ab=bc，ab⊥bc，dc⊥bc。e在bc邊上，be=cd。ae交bd于f。求證：ae⊥bd。 2已知δabc，ab>ac，bd是ac邊上的中線，ce⊥bd于e，af⊥bd延長線于f。求證：be+bf=2bd。 3已知四邊形abcd，ab‖cd，e在bc上，ae平分∠bad，de平分∠adc，若ab=2，cd=3，求ad。 4已知δabc是直角三角形，ac=bc，be是角平分線，af⊥be延長線于f。求證：be=2af。 5已知δabc，∠acb=90°，ad是角平分線，ce是ab邊上的高，ce交ad于f，fg‖ab交bc于g。求證：cd=bg。 6已知δabc，∠acb=90°，ad是角平分線，ce是ab邊上的高，ce交ad于f，fg‖bc交ab于g。求證：ac=ag。 7已知四邊形abcd，ab‖cd，∠d=2∠b，若ad=m，dc=n，求ab。 8已知δabc，ac=bc，cd是角平分線，m為cd上一點(diǎn)，am交bc于e，bm交ac于f。求證：δcme≌δcmf，ae=bf。 9已知δabc，ac=2ab，∠a=2∠c，求證：ab⊥bc。 10已知δabc，∠b=60°。ad，ce是角平分線，求證：ae+cd=ac 全等形4 1已知δabc是直角三角形，ab=ac，δade是直角三角形，ad=ae，連接cd，be，m是be中點(diǎn)，求證：am⊥cd。 2已知δabc，ad，be是高，ad交be于h，且bh=ac，求∠abc。 3已知∠aob，p為角平分線上一點(diǎn)，pc⊥oa于c，∠oap+∠obp=180°，求證：ao+bo=2co。 4已知δabc是直角三角形，ab=ac，m是ac中點(diǎn)，ad⊥bm于d，延長ad交bc于e，連接em，求證：∠amb=∠emc。 5已知δabc，ad是角平分線，de⊥ab于e，df⊥ac于f，求證：ad⊥ef。 6已知δabc，∠b=90°，ad是角平分線，de⊥ac于e，f在ab上，bf=ce，求證：df=dc。 7已知δabc，∠a與∠c的外角平分線交于p，連接pb，求證：pb平分∠b。 8已知δabc，到三邊ab，bc，ca的距離相等的點(diǎn)有幾個(gè)？ 9已知四邊形abcd，ad‖bc，ad⊥dc，e為cd中點(diǎn)，連接ae，ae平分∠bad，求證：ad+bc=ab。 10已知δabc，ad是角平分線，be⊥ad于e，過e作ac的平行線，交ab于f，求證：∠fbe=∠feb。 2014年 23．將圖8（1）中的矩形abcd沿對(duì)角線ac剪開，再把△abc沿著ad方向平移，得到圖8（2）中的△a?bc?，除△adc與△c?ba?全等外，你還可以指出哪幾對(duì)全等的三．．．角形（不能添加輔助線和字母）？請(qǐng)選擇其中一對(duì)加以證明． b c 圖8（2） ？ 2014年 21．如圖10，在△abc中，點(diǎn)d，e分別是ab，ac邊的中點(diǎn)，若把△ade繞著點(diǎn)e順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△cfe． （1）請(qǐng)指出圖中哪些線段與線段cf相等； （2）試判斷四邊形dbcf是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論． bf圖10 2014年 21．如圖8，在△abc中，d是bc的中點(diǎn)，de?ab，df?ac，垂足分別是e，f，be?cf． （1）圖中有幾對(duì)全等的三角形？請(qǐng)一一列出； （2）選擇一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明． （注意：在試題卷上作答無效） ．．．．．．．．． e d 圖8 c 2014年 23．如圖11，pa、pb是半徑為1的⊙o的兩條切線，點(diǎn)a、b分別為切點(diǎn)，？apb?60°，op與弦ab交于點(diǎn)c，與⊙o交于點(diǎn) d． （1）在不添加任何輔助線的情況下，寫出圖中所有的全等三角形； （2）求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）． 圖11 2014年 21、某廠房屋頂呈人字架形（等腰三角形），如圖8所示，已知ac?bc?8m，？a?30°，cd?ab，于點(diǎn)d． （1）求？acb的大小。 （2）求ab的長度。 c a d 圖8 b 23．如圖10，已知rt△abc≌rt△ade，？abc?？ade?90°，bc與de相交于 eb．點(diǎn)f，連接cd， （1）圖中還有幾對(duì)全等三角形，請(qǐng)你一一列舉。 （2）求證：cf?ef書包范文. a df b c 圖10 2014年 23．如圖，點(diǎn)b、f、c、e在同一直線上，并且bf＝ce，∠b＝∠c． (1)請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不再加輔助線），使得△abc≌△def． 你添加的條件是：． f (2)添加了條件后，證明△abc≌△def． 2014年 22．如圖所示，∠bac=∠abd=90°，ac=bd，點(diǎn)o是ad，bc 的交點(diǎn)，點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)． （1）圖中有哪幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)寫出來； （2）試判斷oe和ab的位置關(guān)系，并給予證明． 2014年 23、如圖11，在菱形abcd中，ac是對(duì)角線，點(diǎn)e、f 分別是邊bc、ad的中點(diǎn)。 c e （1）求證：abe≌cdf。 （2）若∠b=60°，ab=4，求線段ae的長。 圖11 學(xué)習(xí)總結(jié)：中考幾何題證明思路總結(jié) 幾何證明題重點(diǎn)考察的是學(xué)生的邏輯思維能力，能通過嚴(yán)密的"因?yàn)?、"所以"邏輯將條件一步步轉(zhuǎn)化為所要證明的結(jié)論。這類題目出法相當(dāng)靈活，不像代數(shù)計(jì)算類題目容易總結(jié) m. 出固定題型的固定解法，而更看重的是對(duì)重要模型的總結(jié)、常見思路的總結(jié)。所以本文對(duì)中考中最常出現(xiàn)的若干結(jié)論做了一個(gè)較為全面的思路總結(jié)。 一、證明兩線段相等 1、兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。 2、同一三角形中等角對(duì)等邊。 3、等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。 4、平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。 5、直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。 6、線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。 7、角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 8、過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。 9、同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。 10、圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。 11、兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。 12、兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。 13、等于同一線段的兩條線段相等。 二、證明兩角相等 1、兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 2、同一三角形中等邊對(duì)等角。 3、等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。 4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。 5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。 6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。 7、圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 8、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 9、圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。10.等于同一角的兩個(gè)角相等 三、證明兩直線平行 1、垂直于同一直線的各直線平行。 2、同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。 3、平行四邊形的對(duì)邊平行。 4、三角形的中位線平行于第三邊。 5、梯形的中位線平行于兩底。 6、平行于同一直線的兩直線平行。 7、一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。 四、證明兩直線互相垂直 1、等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。 2、三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。 3、在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。 4、鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。 5、一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。 6、兩條直線相交成直角則兩直線垂直。 7、利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。 8、利用勾股定理的逆定理。 9、利用菱形的對(duì)角線互相垂直。 10、在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。 11、利用半圓上的圓周角是直角。 五、證明線段的和、差、倍、分 1、作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2、在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。 3、延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。 4、取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。 5、利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。 六、證明角的和、差、倍、分 1、作兩個(gè)角的和，證明與第三角相等。 2、作兩個(gè)角的差，證明余下部分等于第三角。 3、利用角平分線的定義。 4、三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 七、證明兩線段不等 1、同一三角形中，大角對(duì)大邊。 2、垂線段最短。 3、三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4、在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。 5、同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 6、全量大于它的任何一部分。 八、證明兩角不等 1、同一三角形中，大邊對(duì)大角。 2、三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。 3、在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。 4、同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。 5、全量大于它的任何一部分。 九、證明比例式或等積式 1、利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。2.利用內(nèi)外角平分線定理。3.平行線截線段成比例。4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。 5、與圓有關(guān)的比例定理--相交弦定理、切割線定理及其推論。 6、利用比利式或等積式化得。 以上九項(xiàng)是中考幾何證明題中最常出現(xiàn)的內(nèi)容，只要掌握了對(duì)應(yīng)的方法，再根據(jù)題目中的條件進(jìn)行合理選擇，攻克難題不再是夢想！ 有人說，選擇大于勤奮。確實(shí)，很多人只是選對(duì)了路，就超過了很多比他更勤奮、更聰明的同齡人。十六七年前，一群同學(xué)畢業(yè)找工作，有人去了國企，有人去了知名外企，有人千方百計(jì)出了國，還有人去了一個(gè)叫騰訊的小公司做了個(gè)看上去挺沒出息的程序員……同樣是應(yīng)屆生，有些挑肥揀瘦，拿著別人羨慕的offer卻各種矯情；有些則申請(qǐng)無著，慨嘆自己懷才不遇，埋怨用人單位不公。這在知乎網(wǎng)上引起了討論：選擇真的大于勤奮嗎？ 我告訴你們真相：人生除了選擇題，還有證明題。證明題做得好，你才有做選擇題的機(jī)會(huì)。 一個(gè)應(yīng)屆生說，我程序?qū)懙煤芎茫趺醋C明？你拿出谷歌國際程序設(shè)計(jì)競賽成績，ACM（國際計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)）國際大學(xué)生程序設(shè)計(jì)競賽成績，有名次的，巨頭都會(huì)喜歡；你對(duì)算法不是很擅長，但是，你在Github（代碼托管庫）發(fā)布的`項(xiàng)目代碼，很多人分享和下載；你考了國家高級(jí)程序員證書……但你說，你通過了國家計(jì)算機(jī)等級(jí)考試二級(jí)——你猜用人單位會(huì)怎么想？ 我不是唯學(xué)歷、唯名校的人，我身邊有非常多草根高手，他們的才能我也十分欽佩，但我也能理解為什么很多企業(yè)喜歡用名校生。當(dāng)應(yīng)聘者沒有任何其他證明的時(shí)候，只有這個(gè)能證明你是一個(gè)善于學(xué)習(xí)的人。可如果你有其他證明呢？沒有好學(xué)歷，沒有好文憑，那就想辦法，用其他的東西來證明自己。 選擇確實(shí)很重要，但如果做不好證明題，很多選擇題根本不會(huì)給你做。 對(duì)于大量尚在校園的年輕人來說，先做好人生的證明題，證明你是一個(gè)勤于學(xué)習(xí)、做事認(rèn)真靠譜、值得信任、值得共事的人。當(dāng)你做好這道證明題，你的境界肯定已經(jīng)超越了很多同齡人。 做選擇題真的太難了，但做證明題，努努力還是做得到的。 牢記幾何語言 幾何證明題，要使用幾何語言，這對(duì)于剛學(xué)幾何的學(xué)生來說，僅當(dāng)又學(xué)一門“外語”，并努力盡快地掌握這門“外語”的語言使用和表達(dá)能力。 首先，從幾何第一課起，就應(yīng)該特別注意幾何語言的規(guī)范性，要讓學(xué)生理解并掌握一些規(guī)范性的幾何語句。如：“延長線段AB到點(diǎn)C，使AC=2AB”，“過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D”，“過點(diǎn)A作l∥CD”等，每一句通過上課的教學(xué)，課后的輔導(dǎo)，手把手的作圖，表達(dá)幾何語言;表達(dá)幾何語言后作圖，反復(fù)多次，讓學(xué)生理解每一句話，看得懂題意。 其次，要注意對(duì)幾何語言的理解，幾何語言表達(dá)要確切。例如：鈍角的意義是“大于直角而小于平角的叫鈍角”，“大于直角或小于平角的角叫鈍角”，把“而”字說成了“或”字，這就是學(xué)習(xí)對(duì)幾何語言理解不佳，造成的表達(dá)不確切。“一字之差”意思各異，在輔導(dǎo)時(shí)，注重語言的準(zhǔn)確性，對(duì)其犯的錯(cuò)誤反復(fù)更正，做到學(xué)習(xí)之初要嚴(yán)謹(jǐn)。 規(guī)范推理格式 數(shù)學(xué)中推理證明的書寫格式有許多種，但最基本的是演繹法，也就是從已知條件出發(fā)，根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)概念、公理、定理等知識(shí)，順著推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步地推出求證的結(jié)論來。這種證題格式一般叫“演繹法”，課本上的定理證明，例題的證明，多數(shù)是采用這種格式。它的書寫形式表達(dá)常用語言是“因?yàn)椤浴碧貏e是一開始學(xué)習(xí)幾何證明，首先要掌握好這種推理格式，做到規(guī)范化。 積累證明思路。 “幾何證明難”最難莫過于沒有思路。怎樣積累證明思路呢?這主要靠聽講，看書時(shí)積極思考，不僅弄明白題目是“如何證明?”，還要進(jìn)一步追究一下，“證明題方法是如何想出來的?”。只有經(jīng)常這樣獨(dú)立思考，才會(huì)使自己的思路開闊靈活。隨著證明題難度的增加，還要教會(huì)學(xué)生用“兩頭湊”的方法，即在同一個(gè)證明題的分析過程中，分析法與綜合法并用，來縮短已知與未知之間的距離，在教學(xué)安排時(shí)，要給其足夠的時(shí)間思考，而且重復(fù)證明思路，提高對(duì)解題思路的理解和應(yīng)用能力。 4初中數(shù)學(xué)的方法和技巧 注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和積累 努力做到課前仔細(xì)預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽講，課后及時(shí)復(fù)習(xí)。一直以來，很多同學(xué)很不在乎學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，認(rèn)為基礎(chǔ)知識(shí)在解題時(shí)用不上，尤其是數(shù)學(xué)的概念，定義和定理在考試時(shí)候也不會(huì)直接考到，學(xué)了也不會(huì)有用。其實(shí)這種想法是一個(gè)非常致命的錯(cuò)誤，現(xiàn)在有很多學(xué)生，學(xué)習(xí)能力很強(qiáng)，也很有聰明，但在學(xué)習(xí)中忽視了基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，沒有抓住學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，最后非常遺憾的沒有學(xué)好數(shù)學(xué)。 其實(shí)，在中考中，大概有80%的題目都直接或者間接和基礎(chǔ)知識(shí)有關(guān)系，而只有20%的題目才是我們所謂的難題，但是這些難題也都是由很多基礎(chǔ)的題目綜合而來的。所以要想學(xué)數(shù)學(xué)，首先應(yīng)該也是必須要學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。那么怎樣學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)呢?我的方法是課前預(yù)習(xí)，課中聽講，課后復(fù)習(xí)。只要這三個(gè)方面堅(jiān)持不懈的結(jié)合起來，我相信最后一定能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。 培養(yǎng)和鍛煉數(shù)學(xué)的解題方法和技巧 多做有針對(duì)性同時(shí)難度適當(dāng)?shù)耐骄毩?xí)，循序漸進(jìn)，周而復(fù)始。很多同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中非常地努力，也知道要做大量的習(xí)題，有的甚至還自覺規(guī)定每天的做題數(shù)量，但是最后數(shù)學(xué)成績提高也不是很明顯。這是為什么呢?我想很大程度上是由于這些同學(xué)所做的習(xí)題沒有針對(duì)性。 對(duì)于做題，我的觀點(diǎn)是不僅要做題，還要做好題，在這里我想說的是我們學(xué)而思的練習(xí)都是經(jīng)過各個(gè)老師精挑細(xì)選的習(xí)題，又經(jīng)過無數(shù)學(xué)員的檢驗(yàn)，可以說是非常有針對(duì)性，當(dāng)然啦現(xiàn)在書店中很多習(xí)題資料也很不錯(cuò)，希望大家能仔細(xì)挑選。同時(shí)，不僅要針對(duì)性練習(xí)，更重要的是要對(duì)做過的習(xí)題不斷地總結(jié)和反思，總結(jié)自己為什么做錯(cuò)了，錯(cuò)在哪里了，那么正確的思路又是什么，等等，只要經(jīng)過這樣的反復(fù)思考，我相信咱們學(xué)員的學(xué)習(xí)成績一定會(huì)有一個(gè)很大的提高。 近年來，市場上流行著一種似乎很是無奈的說法，即“現(xiàn)代競爭是拼資源的競爭”，的確，一些企業(yè)為了能在市場占有一席之地，紛紛進(jìn)行端架、堆頭及陳列面買斷等資源的激烈爭奪，更使人憂慮的是，不少中小企業(yè)不甘示弱，也玩起了特價(jià)等促銷手段。一時(shí)間，市場的競爭不但硝煙彌漫，而且十分“血腥”。 為了突破企業(yè)遭遇的這一發(fā)展瓶頸，筆者發(fā)現(xiàn)，一種全新理念的錯(cuò)位營銷正逐漸浮上水面，并使運(yùn)用這一營銷策略的企業(yè)贏得了超常的收益。錯(cuò)位營銷是什么？就是避開趨同性的競爭手段，追求的是獨(dú)樹一幟、別具一格的競爭理念和競爭策略，以拓寬自己的市場空間。通俗地說，就是“不做別人做的，只做別人不做的”。其目的就是引導(dǎo)品牌，樹立自我特色和自我風(fēng)格，激活競爭氛圍，創(chuàng)造無限商機(jī)，使消費(fèi)的層面得到無限的拓寬和延展。 一段時(shí)間以來，我們的企業(yè)習(xí)慣于以產(chǎn)品和品牌的區(qū)隔為支點(diǎn)，來進(jìn)行差異化的定位營銷，雖然在營銷的實(shí)踐中也取得了一定的成果，但常常陷入“拼資源”的競爭中，在成長的背后卻是高額的成本和負(fù)擔(dān)，使企業(yè)徒感苦惱和無奈， 企業(yè)在市場的競爭中，就是要敢于亮出自己的特色，形成自己的風(fēng)格，打破趨同，獨(dú)樹一幟。在冰箱的市場競爭中，海爾追求的是模糊控制、節(jié)能靜音、變溫變頻，而新飛則以“無氟”為重點(diǎn)訴求，著力于凸現(xiàn)各自的功能差異化，以形成各自固定的消費(fèi)群。 筆者認(rèn)為，在同質(zhì)化競爭日趨激烈的今天，我們的企業(yè)應(yīng)更多地運(yùn)用一些錯(cuò)位營銷的策略，為企業(yè)在市場上找到一個(gè)屬于自己的獨(dú)特的空間，創(chuàng)造企業(yè)產(chǎn)品獨(dú)特的消費(fèi)群體，從而推動(dòng)企業(yè)的健康成長。因此，一要打破傳統(tǒng)的思維方式，確立企業(yè)獨(dú)特的產(chǎn)品特點(diǎn)和營銷策略；二要在市場營銷終端上下功夫，做別人不做的終端策略，塑造與眾不同的終端形象。 錯(cuò)位營銷強(qiáng)調(diào)的是避開趨同，也就是說，要有效規(guī)避產(chǎn)品功能的同質(zhì)化和營銷策略的趨同性，走出一條屬于企業(yè)自身的產(chǎn)品和營銷之路。而且也不同于定位營銷追求的“大家都在做，但我以一種新奇的途徑去做”的策略，錯(cuò)位營銷是一種徹底的個(gè)性化追求的營銷手段，需要企業(yè)有全新的創(chuàng)新意識(shí)。 彼時(shí)我觀遍世間繁華，才能悠然安坐旋轉(zhuǎn)木馬。 ——題記 回憶 不知是否有人也像我這樣，總愛在回憶中找尋未來的啟示。又是夜深人靜，腦海中突然閃過零碎的畫面，又拼湊出一張張生動(dòng)的笑臉，那天烈日灼灼，我卻精神飽滿，頂著烈日只為在初中畢業(yè)照上留下更好的模樣。記憶總是會(huì)隨著時(shí)間蒙塵，只記得那天同學(xué)們互相嬉戲著拍照，平常最不親近的老師也迫不及待的沖上去一把抱住，平日里覺得班主任憨憨的笑臉，此刻只剩下可愛與真切，曾看過這樣一句話，有些東西失去了才發(fā)覺是最好的，有些事情結(jié)束了才知道醒悟，我突然體會(huì)到，這便是經(jīng)歷過才會(huì)懂吧…就像第一次經(jīng)過那樣濃墨重彩的畢業(yè)，轟轟烈烈的高考，那段要離開的日子，幸福而忙亂，我還跟別人打趣，不知畢業(yè)那天走出這大門會(huì)是怎樣的心情。我們還笑著說終于要解放了，拿到通知書的那天陪伴我度過關(guān)鍵一年的班主任對(duì)我們語重心長的說，“我啊，只能送你們到這兒了，希望三年之后能聽到你們考上大學(xué)的好消息。”我突然感到哽咽，看見男同學(xué)們奔跑著上去擁住他，然后或喜或悲，揮手遠(yuǎn)去，現(xiàn)在也記不清踏出大門的那一刻到底是怎樣復(fù)雜的感受，但我明白，那種感受，它不是單純的喜悅。也許這就是回憶的重要性，因?yàn)樗偸且郧臒o聲息的結(jié)束，殘酷的教會(huì)你什么才是你最沒有珍惜的東西…… 遠(yuǎn)方 “即使天寒地凍，路遙馬亡，也要以青春做酒，夢做華裳，走一趟雪花掩月。”“青春應(yīng)該經(jīng)得起一無所有，青春應(yīng)該經(jīng)得起對(duì)人生的拋擲，青春應(yīng)該經(jīng)得起別人的白眼和輕蔑”……我偶爾會(huì)矛盾，我們應(yīng)是人生最好的年紀(jì)，沒有帶著青春的氣息去瘋狂，而是在相對(duì)封閉的學(xué)校中另類的考驗(yàn)自己，總是悲憤，有些人好像總是輕而易舉的獲得成功，但細(xì)細(xì)想來，其實(shí)每個(gè)人都像一個(gè)蘋果人的本能總是把好的那面露出讓別人看到，但是自己清楚的面對(duì)著那只肥碩的蟲子。這樣的矛盾就如書中所說：選擇成本。在青春和遠(yuǎn)方之間有人漫長而痛苦的抉擇，本身已經(jīng)浪費(fèi)了青春。選擇本身并沒有對(duì)錯(cuò)，然而猶豫會(huì)讓一切慢慢成灰。一切努力都有他獨(dú)特的印記，就如我現(xiàn)在處于回憶的遠(yuǎn)方，這遠(yuǎn)方也卻是我當(dāng)初所憧憬的，那我便突然明白我現(xiàn)在所處的矛盾和當(dāng)時(shí)并無兩樣，只有經(jīng)歷過現(xiàn)在的生活，才會(huì)明白他的美好才對(duì)得起在更遠(yuǎn)的遠(yuǎn)方我為未來描繪的翅膀。也許這就是遠(yuǎn)方的重要性，因?yàn)樗偸且遭Р患胺赖南喾辏臒o聲息的教會(huì)你，什么才是世界上最重要的東西…… 證明題 有些語言，別人看來平淡無奇，卻可能突然擊潰某一個(gè)人的防線，然后束縛在里面的對(duì)自己的羞愧就滿滿的溢了出來。曾經(jīng)看過這樣一段話：“只要是個(gè)人都會(huì)說，我要按照我自己的心意生活，但是你又能為你的意愿支付多少成本，你愿意為了你的夢想不計(jì)成敗利鈍做些什么，擁有夢想的人不做選擇題，他們只做證明題！”時(shí)間有時(shí)過得很慢，但每當(dāng)夜深人靜時(shí)，我就會(huì)覺得一天的時(shí)間已奔跑著遠(yuǎn)去，在有些人一步一步證明自己的時(shí)候，就有一些人在該不該證明中猶豫不決，在夢想和欲望的邊界止步不前，欲望讓自己覺得很重要，但夢想?yún)s讓自己變得很輕。輕到采取任何舉措去證明，去踏出那貌似沉重的腳步。我愿意為夢想不計(jì)成敗利鈍做些什么，與我已經(jīng)做過些什么，同樣是有差距的，而現(xiàn)在面對(duì)的是我將要做些什么，選擇題或證明題，我選擇后者。不然，怎對(duì)得起努力的回憶，又何談遠(yuǎn)方？也許這就是證明的重要性，因?yàn)樗偸且粤x無反顧的前行，耐人尋味的教會(huì)你，什么是所謂成功的“捷徑”。 “在人生最好的時(shí)間，你選擇了最好的空間，不辜負(fù)時(shí)間與空間的創(chuàng)造一段故事”彼時(shí)我觀遍世間繁華，然后悠然安坐旋轉(zhuǎn)木馬…… 1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。 2.同一三角形中等角對(duì)等邊。 3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。 4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。 6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。 7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。 9.同圓(或等圓)中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。 10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。 11.兩前項(xiàng)(或兩后項(xiàng))相等的比例式中的兩后項(xiàng)(或兩前項(xiàng))相等。 12.兩圓的內(nèi)(外)公切線的長相等。 13.等于同一線段的兩條線段相等。 1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 2.同一三角形中等邊對(duì)等角。 3.等腰三角形中，底邊上的中線(或高)平分頂角。 4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。 5.同角(或等角)的余角(或補(bǔ)角)相等。 6.同圓(或圓)中，等弦(或弧)所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。 7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。10.等于同一角的兩個(gè)角相等 1.垂直于同一直線的各直線平行。 2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。 3.平行四邊形的對(duì)邊平行。 4.三角形的中位線平行于第三邊。 5.梯形的中位線平行于兩底。 6.平行于同一直線的兩直線平行。 7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。 1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。 2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。 3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。 4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。 5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。 6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。 7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。 10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。 11.利用半圓上的圓周角是直角。 1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。 3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。 4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。 5.利用一些定理(三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等)。 1.作兩個(gè)角的和，證明與第三角相等。 2.作兩個(gè)角的差，證明余下部分等于第三角。 3.利用角平分線的定義。 4.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。 2.垂線段最短。 3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。 5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 1.同一三角形中，大邊對(duì)大角。 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。 3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。 4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。 2.利用內(nèi)外角平分線定理。 3.平行線截線段成比例。 4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。 5.與圓有關(guān)的比例定理--相交弦定理、切割線定理及其推論。 6.利用比利式或等積式化得。 =[(a+b) -c][(a-b) -c] 則a+b+c>0, a+b>c，a +c>b， b+c>a 則a+b+c>0，a+b-c>0，a-b+c>0，a-b-c<0 則(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) <0 (a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)<0 因?yàn)?a-(b+c)<0 (a+c)-b>0 (a+b)-c>0 a+b+c>0 (因?yàn)?三角形 任意兩邊的和大于第3邊) =[(a+b)-c] [(a-b)-c] =(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (a-b-c)0 (上面4個(gè)因式，由三角形任意兩邊之和大于第三邊，僅有一個(gè)因式(a-b-c)為負(fù)值) 初三幾何證明題 第一題(2)相似后，由RT三角形求出BC=2倍根2， 所以AB/DC=BD/EC 2/2倍根2-X=X/EC， 求出EC=(2倍根2倍的X-X平方)/2 所以Y=2-(2倍根2倍的X-X平方)/2 (3)因?yàn)橄嗨魄褹D=DE 所以兩三角形全等 所以DC=AB=2 所以EC=BD=BC-DC=2倍根2-2 所以AE=AC-EC=2-(2倍根2-2) =4-2倍根2 第二題(1)過E，F(xiàn)，Q分別向AD作垂線 交于點(diǎn)H，I，J， 因?yàn)镻F平行AQ 所以三角形DPF與DAQ相似 所以DP/DA=DF/DQ=3-X/3 因?yàn)槿切蜠JF與DIQ相似 所以FJ/QI=DF/DQ FJ/2=3-X/3 FJ=2/3倍(3-X) 同理EH=2/3倍X 所以S三角形AEP=1/2*X*2/3倍X=1/3倍X方 S三角形DFP=1/2*(3-X)*2/3倍(3-X)=1/3倍(3-X)方 因?yàn)槠叫?/p> 所以S三角形PEF與EFQ相等 所以Y=(S三角形AQD-AEP-DFP)/2 =(1/2*3*2-1/3倍(3-X)方-1/3倍X方)/2 =2/3倍X方+2X (2)延長AB到M使BM=AB，連接DM交BC于點(diǎn)Q'， 點(diǎn)Q'為所求 由RT三角形ADM，用勾股勾出DM=5 所以DQ'+AQ'=5 所以周長為DQ'+AQ'+AD=5+3=8 2 1.在△ABC中，M為BC邊的中點(diǎn)，∠B=2∠C，∠C的平分線交AM于D。 證明：∠MDC≤45°。 2.設(shè)NS是圓O的.直徑，弦AB⊥NS于M，P為弧 上異與N的任一點(diǎn)，PS交AB于R，PM的延長線交圓O于Q，求證：RS>MQ。 答案： 1.設(shè)∠B的平分線交AC于E，易證EM⊥BC作EF⊥AB于F，則有EF=EM， ∴AE≥EF=EM，從而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又 2∠MDC=2(∠MAC+∠ACD)=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB， ∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。 2.連結(jié)NQ交AB于C，連結(jié)SC、SQ。易知C、Q、S、M四點(diǎn)共圓，且CS是該圓的直徑，于是CS>MQ。再證Rt△SMC≌Rt△SMR，從而CS=RS，故有RS>MQ. 3 第一題省略∠ √ ⊥ △ ≌ 第二題:根據(jù)上一題的結(jié)論 兩個(gè)三角形相似 可以得出AB：BD==DC：CE AB==2，BD==x，DC==2√2-x，CE==2-y 所以，[2√2-x]*x==4-2y y==x^2/2-√2x+2，其中0 第三題：△ADE是等腰三角形的情況只有兩種 1、∠AED==90°時(shí)候 ∠BDA==90° BD==√2 AE==√2^2/2-√2*√2+2==1 2、∠AED==67.5°的時(shí)候 AD==DE，而且△ABD∽△DCE 所以△ABD≌△DCE BD==CE 也就是x==2-y 再加上第二題的結(jié)論就有 2-x==x^2/2-√2x+2 x^2- 2(√2-1)x==0 解方程得結(jié)果是 x==2(√2-1)或者0 如果是0，就會(huì)有B、D重合，所以棄去0 AE==2-x ==2(2-√2) 初一《幾何》復(fù)習(xí)題2014--6—29姓名：一．填空題 1．過一點(diǎn) 2．過一點(diǎn)，有且只有直線與這條直線平行； 3．兩條直線相交的，它們的交點(diǎn)叫做；4．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的中，最短；a b 5．如果c[圖1]6．如圖1，ab、cd相交于o點(diǎn)，oe⊥cd，∠1和∠2叫做，∠1和∠3叫做，∠1和∠4叫做，∠2和∠3叫做；a7．如圖2，ac⊥bc，cd⊥ab，b點(diǎn)到ac的距離是a點(diǎn)到bc的距離是，c點(diǎn)到ab的距離是d43 8．如圖3，∠1=110°，∠2=75°，∠3=110°，∠4=；cb 二．判斷題[圖2][圖3] 1．有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角；（）2．不相交的兩條直線叫做平行線；（） 3．垂直于同一直線的兩條直線平行；（）4．命題都是正確的；（） 5．命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成（）6．一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)；（） 三．選擇題 1．下列命題中是真命題的是（）a、相等的角是對(duì)頂角b、如果a⊥b，a⊥c，那 么b⊥cc、互為補(bǔ)角的兩個(gè)角一定是鄰補(bǔ)角d、如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c 2.下列語句中不是命題的是（）a、過直線ab外一點(diǎn)c作ab的平行線cf b、任意兩個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)c、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則兩直線平行d、兩個(gè)角互為 補(bǔ)角，與這兩個(gè)角所在位置無關(guān)a 3．如圖4，已知∠1=∠2，若要∠3=∠4，則需 （）da、∠1=∠3b、∠2=∠3c、∠1=∠4d、 ab∥cdc [圖4] 4．將命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果？?，那么？?”的形式，正確的是（） a．如果同角的補(bǔ)角，那么相等b．如果兩個(gè)角是同一個(gè)角，那么它們的補(bǔ)角相等 c．如果有一個(gè)角，那么它們的補(bǔ)角相等d．如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等 四．解答下列各題 ：p 1. 如圖5，能表示點(diǎn)到直線（或線段）的距離的線段qac 有、、；abf 2.如圖6，直線ab、cd分別和ef相交，已知ab∥cd，orebba平分∠cbe，∠cbf=∠dfe，與∠d相等的角有∠[圖5][圖6]d∠、∠、∠、∠等五個(gè)。c 五．證明題e[圖8]如圖7，已知：be平分∠abc，∠1=∠3。求證：de∥bcb[圖7]cadb 六．填空題 1．過一點(diǎn)可以畫條直線 ，過兩點(diǎn)可以畫 2．在圖8中，共有條線段，共有個(gè)銳角，個(gè)直角，∠a的余角是； 3．a(chǎn)b=3.8cm，延長線段ab到c，使bc=1cm，再反向延長ab到d，使ad=3cm，e是ad中點(diǎn)，f是cd的中點(diǎn)，則ef=cm ； 4．35.56°=度 分秒；105°45′15″—48°37′26 ″ 5．如圖9，三角形abc中，d是bc上一點(diǎn)，e是ac上一點(diǎn)，ad與be交于f點(diǎn)，則圖中共有e 6．如圖10，圖中共有條射線，七．計(jì)算題bdc 1．互補(bǔ)的兩個(gè)角的比是1：2，求這兩個(gè)角各是多少度？[圖9] a2．互余的兩角的差為15°，小角的補(bǔ)角比大角的補(bǔ)角大多少？e bdc[圖10] 1．如圖11，aob是一條直線，od是∠boc的平分線，若∠aoc=34°56′求∠bod的度數(shù)； dc 八．畫圖題。1 。已知∠α，畫出它的余角和補(bǔ)角，并表示出來aob [圖11]北 2.已知∠α和∠β，畫一個(gè)角，使它等于2∠α—∠β北偏西20 β 3.仿照?qǐng)D12，作出表示下列方向的射線：西東 ⑴北偏東43° ⑵南偏西37° ⑶東北方向 ⑷ 西北方向 九．證明題[圖12]南 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角的平分線平行（要求：畫出圖形，寫出已知、(推薦訪問范文網(wǎng)求證，并進(jìn)行證明） 已知：求證：證明： ∴∠=∠ 或∠+∠=180° 這些是簡單的。 ： 怎么會(huì)用漢字表示呢，要用幾何語言。比如兩直線平行要寫成a//b 3 就是不知道怎么區(qū)分這兩種證明格式： 怎么回答時(shí)就要自己在草稿本上算出當(dāng) 時(shí)，然后把它作為條件 得到滿足 的結(jié)論 ……(寫上你所找的已知條件然后推出結(jié)論進(jìn)行證明，最好“∴”后面都標(biāo)上所根據(jù)的定理) 首先肯定是先寫上“證明”二字。然后根據(jù)所問問題一問一問證明(注意：因?yàn)椋?，因?yàn)榫停簲[出條件，所以：就得出結(jié)果。這個(gè)你可以買點(diǎn)參考書之類的`資料看看，注意他們的格式，好好自習(xí)的學(xué)學(xué)吧!祝你好運(yùn)哦! 6 1 當(dāng) xx 時(shí)，滿足 。。 是以xx為條件，做出答案。。 2 試探究 。。。。。。。。 是以。。。。。。。。。為條件，做出答案 ……(寫上你所找的已知條件然后推出結(jié)論進(jìn)行證明，最好“∴”后面都標(biāo)上所根據(jù)的定理) 繼續(xù)追問： SSS、AAS、SAS、HL、ASA。這些那么簡單，不用了。 在ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F. (1)在圖1中證明CE=CF; (2)若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)(如圖2)，直接寫出∠BDG的度數(shù); 第一個(gè)問我會(huì)，求第二個(gè)問。。需要過程，快呀!! ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90° ∴∠DAF=∠BAF=45° ∴∠DFA=45°，∠ECF=90° ∵∠CEF=∠GCF=45°→∠BEG=∠DCG=135° ∵CG⊥EF→∠DGC+∠DGB=90° ∴∠BGE+∠DGB=90° ∴△DGB為等腰Rt△ ∴∠BDG=45° 分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。 對(duì)于證明題，有三種思考方式： (1)正向思維。對(duì)于一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細(xì)講述了。 (2)逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運(yùn)用逆向思維解題，能使學(xué)生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學(xué)生的解題思路。這種方法是推薦學(xué)生一定要掌握的。在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現(xiàn)的更加明顯，數(shù)學(xué)這門學(xué)科知識(shí)點(diǎn)很少，關(guān)鍵是怎樣運(yùn)用，對(duì)于初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經(jīng)上初三了，幾何學(xué)的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現(xiàn)在開始，總結(jié)做題方法。同學(xué)們認(rèn)真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結(jié)論出發(fā)。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那么結(jié)合圖形可以看出，只要證出某兩個(gè)三角形相等即可;要證三角形全等，結(jié)合所給的'條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個(gè)條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然后把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學(xué)們一定要試一試。 (3)正逆結(jié)合。對(duì)于從結(jié)論很難分析出思路的題目，同學(xué)們可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真的分析，初中數(shù)學(xué)中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們?nèi)切文尺呏悬c(diǎn)，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點(diǎn)倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對(duì)角線，或補(bǔ)形等等。正逆結(jié)合，戰(zhàn)無不勝。? 高數(shù)證明題思想總結(jié)
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中考數(shù)學(xué)幾何證明題
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