空間向量函數(shù)思想總結(jié)

空間向量函數(shù)思想總結(jié)（匯集13篇）。

? 空間向量函數(shù)思想總結(jié) ?

sin30°=1/2

sin45°=√2/2

sin60°=√3/2

cos30°=√3/2

cos45°=√2/2

cos60°=1/2

tan30°=√3/3

tan45°=1

tan60°=√3[1]

cot30°=√3

cot45°=1

cot60°=√3/3

其次就是兩角和公式，這是在初中數(shù)學(xué)考試中問答題中容易用到的三角函數(shù)公式。兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)

ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

除了以上常考的初中三角函數(shù)公示之外，還有半角公式和和差化積公式也在選擇題中用到。所以同學(xué)們還是要好好掌握。

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))

ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2Ys575.COm

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

- ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

? 空間向量函數(shù)思想總結(jié) ?

1、教材與學(xué)情分析

“平面向量的應(yīng)用”這節(jié)教材在二期課改課本第10章最后一節(jié)10.6，屬于拓展內(nèi)容。教材選取5個(gè)例題說明向量作為工具在數(shù)學(xué)、物理中的廣泛應(yīng)用性，其中例1和例2說明向量在平面幾何中的應(yīng)用，例3（柯西不等式的證明）說明向量在代數(shù)中的應(yīng)用，例4和例5說明向量在力學(xué)中的應(yīng)用。已學(xué)完“力學(xué)”的高二學(xué)生對向量在力學(xué)中的應(yīng)用并不陌生，聯(lián)想向量相等、平行向量的關(guān)系、垂直向量的關(guān)系等解決平面幾何問題讓學(xué)生感到也較自然，因?yàn)檫@是形——形的轉(zhuǎn)化、很直觀，而且涉及的向量知識也較容易，學(xué)生掌握得也好。而聯(lián)想向量模的意義、“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”、“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”、將“向量加法的多邊形法則”轉(zhuǎn)化為“有關(guān)坐標(biāo)的等式”等解決函數(shù)最值、不等式和等式證明、三角求值等問題讓學(xué)生感到比較困難，其原因之一是以上的知識掌握和理解有一定的難度，二是聯(lián)想構(gòu)造“數(shù)——形——數(shù)”轉(zhuǎn)化的要求高、綜合性強(qiáng)、較抽象，三是教學(xué)中能力培養(yǎng)不到位，因此在“平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用”的教學(xué)中能力培養(yǎng)是關(guān)鍵。

本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)“向量在平面幾何中的應(yīng)用”基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)“向量在代數(shù)中的應(yīng)用”。圍繞以上向量的概念和運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用精心問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析表達(dá)式的特征，聯(lián)想向量知識，通過構(gòu)造向量將已知條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量表達(dá)、進(jìn)行向量運(yùn)算或向量性質(zhì)的應(yīng)用將所得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為所求結(jié)論的過程，學(xué)生會對數(shù)學(xué)思想方法中的“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化”等有更深刻的理解；通過變式教學(xué)、特殊與一般的研究，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣；通過錯(cuò)誤辨析、一題多解、一題多變的探究，夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)，達(dá)到深刻理解向量的概念，熟練掌握向量的運(yùn)

算和性質(zhì)的目的，因而本節(jié)課的教學(xué)有助于學(xué)生能力的提高。

本課的教學(xué)對象為松江二中高二學(xué)生，他們已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運(yùn)算和性質(zhì)，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用，有“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用意識，善于思考和發(fā)現(xiàn)，有較高的認(rèn)知水平。因此，有可能也有必要引導(dǎo)他們進(jìn)行問題探究。關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的思想應(yīng)用，來源于兩個(gè)方面，一是已體會到向量本身就是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，它兼具代數(shù)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀特點(diǎn)，二是通過基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，體會到應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)的零點(diǎn)、方程和不等式的解等問題。正如美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問題，并能創(chuàng)造性思索問題的解法”。所以本節(jié)課以“向量在代數(shù)中的應(yīng)用”為載體，進(jìn)一步讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化”的思想應(yīng)用為目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神為歸宿，促進(jìn)學(xué)生思維能力的提高。

2、教學(xué)目標(biāo)

2．1學(xué)生通過問題探究，深刻理解向量的概念，熟練掌握向量的運(yùn)算和性質(zhì)，并能著意聯(lián)想恰當(dāng)應(yīng)用，解決有關(guān)代數(shù)問題；

2．2學(xué)生通過一題多解、一題多變的研究，揭示向量在代數(shù)問題中的應(yīng)用本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想及特殊與一般關(guān)系的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、注意點(diǎn)

本課重點(diǎn)是加深向量概念、向量的運(yùn)算和性質(zhì)的理解，并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想解決有關(guān)代數(shù)問題；難點(diǎn)是如何數(shù)形轉(zhuǎn)化和有關(guān)向量模的不等式等號成立的本質(zhì)理解；注意點(diǎn)要求學(xué)生規(guī)范表達(dá)數(shù)形結(jié)合解題的步驟。

重點(diǎn)突破：以問題為出發(fā)點(diǎn)，觀察、分析、展開聯(lián)想，實(shí)踐探索，展示學(xué)生在討論、回答過程中的思維活動，體會問題本質(zhì)。難點(diǎn)突破：復(fù)習(xí)回顧有關(guān)“向量實(shí)數(shù)化”的特征，如模、數(shù)量積、坐標(biāo)的表示等，通過問題銜接設(shè)計(jì)，鋪墊暗示，一題多解、一題多變、錯(cuò)題辨析、幾何畫板的應(yīng)用等達(dá)到突破難點(diǎn)目的。

4、教學(xué)方法與教學(xué)手段

4．1充分體現(xiàn)“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的原則

注重問題設(shè)計(jì)，體現(xiàn)教師的導(dǎo)向功能，展示學(xué)生是展開聯(lián)想的主體；

重視實(shí)踐探索，體現(xiàn)教師的導(dǎo)律功能，展示學(xué)生是揭示規(guī)律的主體

應(yīng)用媒體實(shí)驗(yàn)，體現(xiàn)教師的導(dǎo)標(biāo)功能，展示學(xué)生是體驗(yàn)演示的主體

4．2采取教師指導(dǎo)下的學(xué)生實(shí)踐、探索的模式，把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，指導(dǎo)嘗試，總結(jié)反思。

4．3 powerpoint、幾何畫板、多媒體系統(tǒng)

5、課堂設(shè)計(jì)

5．1新課引入

（1）用PPT在屏幕上顯示華羅庚的相片和華羅庚關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的至理名言“數(shù)缺形時(shí)少直觀形離數(shù)時(shí)難入微”的話，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中非常重要的思想和解決問題的常用策略，以數(shù)學(xué)家的語言激發(fā)同學(xué)進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望；

（2）向量本身就是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，它兼具代數(shù)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧有關(guān)“向量實(shí)數(shù)化”的特征，如模、數(shù)量積、坐標(biāo)的表示等，期望能進(jìn)一步說出有關(guān)的不等式和等式，如模的意義、“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”、“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”、將“向量加法的多邊形法則”轉(zhuǎn)化為“有關(guān)坐標(biāo)的等式”……

（3）提出課題，在學(xué)習(xí)“向量在平面幾何中的應(yīng)用”基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)“向量在代數(shù)中的應(yīng)用”。

5．2問題探究

出示問題1。設(shè)a、b為不相等的實(shí)數(shù)，要求學(xué)生自主探索、相互討論。

預(yù)計(jì)：學(xué)生思路分下列三種類型：

（1）有根號想到兩次平方分析；

（2）由根號內(nèi)的現(xiàn)性特征，聯(lián)想向量的模概念，構(gòu)造向量，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量表達(dá)式，從而揭示“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”本質(zhì)；

（3）由根號內(nèi)的現(xiàn)性特征，聯(lián)想兩點(diǎn)間距離公式，構(gòu)造點(diǎn)坐標(biāo)，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為平面上三點(diǎn)間距離的不等關(guān)系，從而揭示“兩線段長度之和（差）大于或等于（小于或等于）第三線段的長”本質(zhì)。

分析：學(xué)生討論三種方法的異同點(diǎn)，期望說出（1）是處理絕對值和根號的一般代數(shù)方法；而（2）（3）都是應(yīng)用數(shù)形轉(zhuǎn)化解決，體現(xiàn)本問題的特殊性，且強(qiáng)調(diào)（2）（3）兩種方法解題原理相同……

總結(jié)用向量解決代數(shù)問題的步驟：

（1）構(gòu)造向量，將已知條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量表達(dá)式（數(shù)————形）；

（2）進(jìn)行向量運(yùn)算或向量性質(zhì)的應(yīng)用；

（3）將所得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為所求的結(jié)論（形————數(shù)）。

老師板書示范后，引導(dǎo)學(xué)生討論，條件不變的前提下，由于構(gòu)造向量或向量性質(zhì)應(yīng)用的差異，會得到不同的結(jié)論，期望同學(xué)一題多變……

注意：“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”等號成立的條件，為下面突破難點(diǎn)作好鋪墊。

練一練

求函數(shù)的最小值。

由學(xué)生的錯(cuò)誤答案13，引導(dǎo)學(xué)生尋找錯(cuò)誤原因，并通過幾何畫板演示最小值取得的條件。強(qiáng)調(diào)最值的驗(yàn)證，揭示數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，突破難點(diǎn)。

引導(dǎo)：當(dāng)看到

出示問題2，即課本P50例3，讓學(xué)生討論總結(jié)“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”的應(yīng)用，就證明了柯西不等式，此時(shí)預(yù)計(jì)學(xué)生比較活躍，課堂進(jìn)入高潮……

變式

并指出等號成立的充要條件。

預(yù)計(jì)：許多學(xué)生已觀察出仍然是“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”的應(yīng)用，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)本質(zhì)，體會柯西不等式所反映實(shí)數(shù)關(guān)系的奇妙性，感受一般與特殊關(guān)系。

注意：“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”中等號成立的條件，為下面練習(xí)鋪墊，。

練一練

預(yù)計(jì)：學(xué)生使用計(jì)算器，很快發(fā)現(xiàn)值為0……

教師因勢利導(dǎo)：你能不用計(jì)數(shù)器解決嗎？觀察角構(gòu)成的等差數(shù)列的代數(shù)特征，公差為72，項(xiàng)數(shù)為5，如果構(gòu)造五個(gè)單位向量且順次連接，那么將會得到什么圖形？學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)畫圖、幾何畫板演示，學(xué)生觀察、體驗(yàn)。

°

預(yù)計(jì)：學(xué)生回答正五邊形，并很快解釋值為0的理由，將五個(gè)單位向量的起點(diǎn)放在原點(diǎn)處，終點(diǎn)連接，也構(gòu)成正五邊形，原點(diǎn)為其中心，由力學(xué)知識所知，五個(gè)單位向量的和為零向量。

教師給予表揚(yáng)，強(qiáng)調(diào)同學(xué)有很好的直覺思維，因?yàn)橐粋€(gè)真理的發(fā)現(xiàn)很重要，而證明只是一個(gè)時(shí)間問題。正如大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”并鼓勵他完成邏輯證明。

教師點(diǎn)撥：既然構(gòu)造五個(gè)單位向量能組成正五邊形，那么對于多邊形有怎樣的向量運(yùn)算性質(zhì)呢？

學(xué)生：此時(shí)五個(gè)單位向量的和為零向量的結(jié)論有了依據(jù)，學(xué)生興奮不已，而且得到了一個(gè)“副產(chǎn)品”，這五個(gè)角的正弦和也為0。

由此引導(dǎo)學(xué)生自我編題，體驗(yàn)一類三角求值的本質(zhì)特點(diǎn)，從而進(jìn)行一般研究。

推廣：

5、3課堂總結(jié)，

（1）深化理解向量概念，熟練掌握向量的運(yùn)算和性質(zhì)。掌握平面向量在代數(shù)中應(yīng)用的解題步驟。

（2）善于抽象概括，從而做到觸類旁通；研究問題的數(shù)學(xué)特征（代數(shù)意義、幾何意義），善于聯(lián)想，使數(shù)量關(guān)系與幾何形式有機(jī)結(jié)合。

（3）通過問題探究，應(yīng)注重邏輯思維和直覺思維的有機(jī)滲透，因?yàn)橹庇X思維是創(chuàng)造性思維活動的一種表現(xiàn)。

5、4注意

向量是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)工具，當(dāng)然如果不用向量，也可以解決有關(guān)問題。

但是如果由代數(shù)特征，聯(lián)想向量的概念和運(yùn)算，巧設(shè)向量解題，那么可以簡化問題解決，也可以加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

5、5作業(yè)（為進(jìn)一步鞏固本課所學(xué)知識和方法，完成下列作業(yè)，因課上時(shí)間）

5、6板書

投影和黑板（在代數(shù)中應(yīng)用向量的運(yùn)算性質(zhì)解題的工具和問題1的解題過程及問題2、3的簡要過程一直留在黑板上，其它都通過投影顯示。）

? 空間向量函數(shù)思想總結(jié) ?

一、 教材分析

1.本課的地位及作用：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，就是運(yùn)用坐標(biāo)這一量化工具表達(dá)向量的數(shù)量積運(yùn)算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問題提供了全新的手段。它把向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算兩個(gè)知識點(diǎn)緊密聯(lián)系起來，是全章重點(diǎn)之一。

2學(xué)生情況分析：在此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積概念及運(yùn)算，但數(shù)量積是用長度和夾角這兩個(gè)概念來表示的，應(yīng)用起來不太方便，如何用坐標(biāo)這一最基本、最常用的工具來表示數(shù)量積，使之應(yīng)用更方便，就是擺在學(xué)生面前的一個(gè)亟待解決的問題。因此，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和知識構(gòu)建的一個(gè)合情、合理的“生長點(diǎn)”。所以，本節(jié)課采取以學(xué)生自主完成為主，教師查漏補(bǔ)缺的教學(xué)方法。因此結(jié)合中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際。我將本節(jié)教學(xué)目標(biāo)確定為：

1、理解掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算。理解掌握向量的模、夾角等公式。能根據(jù)公式解決兩個(gè)向量的夾角、垂直等問題

2、經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐標(biāo)表示的過程，體驗(yàn)在此基礎(chǔ)上探究發(fā)現(xiàn)向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新精神。

教學(xué)重點(diǎn)

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)

探究發(fā)現(xiàn)公式

二、 教學(xué)方法和手段

1教學(xué)方法：結(jié)合本節(jié)教材淺顯易懂，又有前面平面向量的數(shù)量積和向量的坐標(biāo)表示等知識作鋪墊的內(nèi)容特點(diǎn)，兼顧高一學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)思維能力和處理向量問題的方法的現(xiàn)狀，我主要采用“誘思探究教學(xué)法”，其核心是“誘導(dǎo)思維，探索研究”，其教學(xué)思想是“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的原則，為此，我通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，積極的鼓勵學(xué)生的參與，給學(xué)生獨(dú)立思考的空間，鼓勵學(xué)生自主探索，最終在教師的指導(dǎo)下去探索發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。在教學(xué)中，我適時(shí)的對學(xué)生學(xué)習(xí)過程給予評價(jià)，適當(dāng)?shù)脑u價(jià)，可以培養(yǎng)學(xué)生的自信心，合作交流的意識，更進(jìn)一步地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們體驗(yàn)成功的喜悅。

2教學(xué)手段：利用多媒體輔助教學(xué)，可以加大一堂課的信息容量，極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、 學(xué)法指導(dǎo)

改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念。獨(dú)立思考，自主探索，動手實(shí)踐，合作交流等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”的過程。以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新潛能，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考，積極探索的習(xí)慣。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，本節(jié)教學(xué)讓學(xué)生主動參與，讓學(xué)生動手，動口、動腦。通過思考、計(jì)算、歸納、推理，鼓勵學(xué)生多向思維，積極活動，勇于探索。具體體現(xiàn)在：1、通過提出問題，把問題的求解與探究貫穿整堂課，使學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，推廣了命題，使學(xué)生感到成果是自己得到的，增強(qiáng)了成就感，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心和良好的學(xué)習(xí)動機(jī)。2、通過數(shù)與形的充分挖掘，通過對向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示的類比，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，教給了學(xué)生類比聯(lián)想的記憶方法。

四、教學(xué)程序

本節(jié)課分為復(fù)習(xí)回顧、定理推導(dǎo)、引申推廣、例題講析、練習(xí)與小結(jié)五部分。

復(fù)習(xí)回顧部分通過兩個(gè)問題，復(fù)習(xí)了與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)量積概念，為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)作了必要的鋪墊。

定理推導(dǎo)部分通過設(shè)問，引出尋求向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的必要性，引入課題，并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用前述知識共同推導(dǎo)出數(shù)量積的坐標(biāo)表示。

引申推廣部分，讓學(xué)生自主推導(dǎo)出向量的長度公式，向量垂直條件的坐標(biāo)表示、夾角公式等三個(gè)結(jié)論，強(qiáng)化了學(xué)生的動手能力和自主探究能力。

例題講析，通過四道緊扣教材的例題的精講，突出了結(jié)論的應(yīng)用，也起到了示范作用。

練習(xí)及小結(jié)：通過練習(xí)題驗(yàn)收教學(xué)效果，突出訓(xùn)練主線，小結(jié)部分畫龍點(diǎn)睛，強(qiáng)調(diào)本節(jié)重點(diǎn)。再結(jié)合課后作業(yè)，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目的。同時(shí)小結(jié)也體現(xiàn)主體性，由教師提出問題學(xué)生總結(jié)得出。

? 空間向量函數(shù)思想總結(jié) ?

向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個(gè)向量的`數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作ab。若a、b不共線，則ab=abcos〈a，b〉;若a、b共線，則ab=+-?a??b?。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx'+yy'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

ab=ba(交換律);

(λa)b=λ(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)c=ac+bc(分配律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=a的平方。

a⊥b 〈=〉ab=0。

ab≤ab。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。

3、ab≠ab

4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。

? 空間向量函數(shù)思想總結(jié) ?

1、 向量的概念;

2、向量的線性運(yùn)算:即向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義,運(yùn)算律;

1、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中,借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋,有時(shí)甚至更簡捷。

向量運(yùn)算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點(diǎn)基本圖形--起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。

2、 向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。

向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算,前兩者的.結(jié)果是向量,兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號、坐標(biāo)語言。

實(shí)數(shù)與向量的乘積:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=

兩個(gè)向量的數(shù)量積: ? = ? ;(λ )? = ?(λ )=λ( ? ),( )? = ? ?

說明:根據(jù)向量運(yùn)算律可知,兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則,正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算,例如( ± )2=

(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于該平面內(nèi)任一向量 ,有且只有一對數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足 =λ1 λ2 ,稱λ1 λ λ2 為 , 的線性組合。

根據(jù)平面向量基本定理,任一向量 與有序數(shù)對(λ1,λ2)一一對應(yīng),稱(λ1,λ2)為 在基底{ , }下的坐標(biāo),當(dāng)取{ , }為單位正交基底{ , }時(shí)定義(λ1,λ2)為向量 的平面直角坐標(biāo)。

向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo),即若a(x,y),則 =(x,y);當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí),向量 坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),即若a(x1,y1),b(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1)

坐標(biāo)語言為:設(shè) =(x1,y1), =(x2,y2),則 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0

在這里,實(shí)數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng) 與 同向時(shí),λ>0;當(dāng) 與 異向時(shí),λ

|λ|= ,λ的大小由 及 的大小確定。因此,當(dāng) , 確定時(shí),λ的符號與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。

坐標(biāo)語言:設(shè) =(x1,y1), =(x2,y2),則 ⊥ x1x2 y1y2=0

則定比分點(diǎn)向量式:

定比分點(diǎn)坐標(biāo)式:設(shè)p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

,

實(shí)際上,對于起點(diǎn)相同,終點(diǎn)共線三個(gè)向量 , , (o與p1p2不共線),總有 =u v ,u v=1,即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量,且系數(shù)和為1。

? 空間向量函數(shù)思想總結(jié) ?

1.函數(shù)的定義

函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)習(xí)函數(shù)需要首先掌握函數(shù)的各個(gè)知識點(diǎn)，然后運(yùn)用函數(shù)的各種性質(zhì)來解決具體的問題。

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),xA

2.函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域分為自然定義域和實(shí)際定義域兩種，如果給定的函數(shù)的解析式（不注明定義域），其定義域應(yīng)指的是使該解析式有意義的自變量的`取值范圍（稱為自然定義域），如果函數(shù)是有實(shí)際問題確定的，這時(shí)應(yīng)根據(jù)自變量的實(shí)際意義來確定，函數(shù)的值域是由全體函數(shù)值組成的集合。

3.求解析式

求函數(shù)的解析式一般有三種種情況：

（1）根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系式，這種情況需引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識找出函數(shù)關(guān)系式。

（2）有時(shí)體中給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可用待定系數(shù)法。

（3）換元法求解析式，f[h(x)]=g(x)求f(x)的問題，往往可設(shè)h(x)=t，從中解出x,代入g(x)進(jìn)行換元來解。掌握求函數(shù)解析式的前提是，需要對各種函數(shù)的性質(zhì)了解且熟悉。

目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了常數(shù)函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)以及由以上幾種函數(shù)加減乘除，或者復(fù)合的一些相對較復(fù)雜的函數(shù)，但是這種函數(shù)也是初等函數(shù)。

? 空間向量函數(shù)思想總結(jié) ?

教學(xué)目標(biāo)：

(i)知識目標(biāo)：

(1)掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.

(2) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.

(ii)能力目標(biāo)：

(1) 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用平面向量積解決相關(guān)問題的能力.

(2) 正確運(yùn)用向量運(yùn)算律進(jìn)行推理、運(yùn)算.

教學(xué)重點(diǎn)： 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用.

?教學(xué)過程：

一、知識梳理

平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|

? 空間向量函數(shù)思想總結(jié) ?

今天我說的課題是“向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算”，主要研究兩類問題：

1、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

2、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，履行“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育思想。

下面我從三個(gè)方面闡述這節(jié)課。

第一方面：教材分析

本節(jié)的授課內(nèi)容為“向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算”，選自人教版中等職業(yè)教育國家規(guī)劃教材《數(shù)學(xué)》（提高版）第一冊第六章第六節(jié)，我從四個(gè)方面進(jìn)行教材分析。

（一）教材的地位和作用

向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算是向量的重要內(nèi)容，它使向量的運(yùn)算完全數(shù)量化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，使得用向量的方法解決幾何問題更加方便，從而極大地提高了學(xué)生利用向量知識解決實(shí)際問題的能力。

同時(shí)，這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程對進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和歸納問題的能力具有重要意義。

（二）教材的處理

結(jié)合教學(xué)參考書和學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，我將“向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算”安排為兩課時(shí)。本節(jié)為第二課時(shí)。

根據(jù)目前學(xué)生的狀況以及以往的經(jīng)驗(yàn)，我發(fā)現(xiàn)，雖然這節(jié)課的內(nèi)容比較簡單，但由于以前教師講解得過多，導(dǎo)致學(xué)生丟失了很多重要的知識。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，我采用復(fù)習(xí)提問的形式，師生共同得出向量線性運(yùn)算的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則和一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)的結(jié)論，直接切入本節(jié)課的知識點(diǎn)。之后，由淺入深、由低到高地設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的問題，逐步加深學(xué)生對向量直角坐標(biāo)運(yùn)算的記憶和理解。

由此，我對教材的引入、例題和練習(xí)做了適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和修改。

（三）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

根據(jù)學(xué)生現(xiàn)狀、教學(xué)要求以及教材內(nèi)容，我確立本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：使學(xué)生熟練地掌握向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算。

由于學(xué)生的實(shí)際情況──運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力較差，我把本節(jié)課的難點(diǎn)定為：向量直角坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用。

要突破這個(gè)難點(diǎn)，關(guān)鍵在于緊扣向量直角坐標(biāo)運(yùn)算的相關(guān)知識，去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。

（四）教學(xué)目標(biāo)的分析

根據(jù)教學(xué)要求、教材的地位和作用以及學(xué)生現(xiàn)有的知識水平和數(shù)學(xué)能力，我把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為以下三個(gè)方面。

1、知識教學(xué)目標(biāo)

能準(zhǔn)確表述向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算法則；明確一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)；掌握用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算解決平面幾何問題的方法。

2、能力訓(xùn)練目標(biāo)

培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納的能力及創(chuàng)新能力；培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法去分析和解決問題的能力。

3、德育滲透目標(biāo)

通過學(xué)習(xí)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的完全結(jié)合，讓學(xué)生明白：知識與知識之間、事物與事物之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化；通過例題及練習(xí)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，養(yǎng)成勤于動腦的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

第二方面：教法與學(xué)法分析

現(xiàn)代教學(xué)論指出：“教學(xué)是師生的多邊活動，在教師進(jìn)行‘反饋—控制’的同時(shí)，每個(gè)學(xué)生也都在進(jìn)行微觀的‘反饋—控制’。”由于任何教學(xué)都必須通過學(xué)生自身的學(xué)習(xí)建構(gòu)才有成效，故本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法”來組織課堂教學(xué)。這樣，可充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和能動性，突出學(xué)生的主體作用。

在教學(xué)中借助于計(jì)算機(jī)課件輔助教學(xué)。

第三方面：教學(xué)過程

共分為六個(gè)環(huán)節(jié)，具體的時(shí)間安排如下：復(fù)習(xí)提問約4分鐘，導(dǎo)入新課約6分鐘，創(chuàng)設(shè)問題約30分鐘，小結(jié)約3分鐘，布置作業(yè)約2分鐘。

（一）復(fù)習(xí)提問

（1）向量在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的定義是什么？

（2）若o為原點(diǎn)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系是什么？

（3）如果兩個(gè)向量相等，那么這兩個(gè)向量的坐標(biāo)需滿足什么條件？

課堂教學(xué)論認(rèn)為：“要使教學(xué)過程最優(yōu)化，首先要把所學(xué)習(xí)的知識和學(xué)生已有的信息聯(lián)系起來”。通過這三個(gè)問題的復(fù)習(xí)就可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)新的知識前，獲得適當(dāng)?shù)闹R積累。

（二）導(dǎo)入新課

在教學(xué)過程中，我提出兩個(gè)問題：

問題1 已知a=a1e1+a2e2，b=b1e1+b2e2，（e1、e2為直角坐標(biāo)系的基底）

1、則a，b的坐標(biāo)為……。

2、求a+b，a—b，λa。

3、求a+b，a—b，λa的坐標(biāo)。

問題2已知A=（x1，y1），B=（x2，y2）。

1、則，的坐標(biāo)分別為……。

2、化簡。

3、求的坐標(biāo)。

這兩個(gè)問題由師生共同練習(xí)完成。

通過師生間的相互討論、相互啟發(fā)、相互合作，達(dá)到溫故知新的目的，也由低級到高級的認(rèn)知順序引出本節(jié)課的知識點(diǎn)，這很自然，學(xué)生比較容易接受，容易激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量直角坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律的強(qiáng)烈欲望。

（三）創(chuàng)設(shè)問題

這是本節(jié)課的核心。根據(jù)循序漸進(jìn)、由淺入深的教學(xué)原則，我設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的問題。

第一層次：先由師生共同歸納總結(jié)由問題1、2得出的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納的能力。

由問題1我們得到結(jié)論1：

a+b=（a1+b1，a2+b2），

a—b=（a1—b1，a2—b2），

λa=（λa1，λa2）。

用語言敘述為：

兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。

數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于數(shù)乘向量相應(yīng)坐標(biāo)的積。

由問題2我們得到結(jié)論2：

=（x2—x1，y2—y1）。

用語言敘述為：

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)。

這兩個(gè)結(jié)論是向量直角坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律，為本節(jié)的知識點(diǎn)。為加深認(rèn)識，我又安排了練習(xí)1。

練習(xí)1（口答）下列說法是否正確：

（1）已知向量a=（—2，4），b=（5，2），

則：①2a=（—4，4），2b=（5，4）。②2a=（—4，8）。

（2）已知A（2，1），B（3，8），則=（—1，—7）。

①讓學(xué)生注意數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于數(shù)乘向量相應(yīng)坐標(biāo)的積。

②提醒學(xué)生區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)，兩者是不同的概念。

上述（2）小題讓學(xué)生明確一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)，而不等于始點(diǎn)坐標(biāo)減去終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)。

第二層次：設(shè)計(jì)練習(xí)2、3、4。

練習(xí)2 已知如下向量a、b，求a+b，a—b，3a+4b，4a—4b的坐標(biāo)。

（1）a=（—2，4），b=（5，2）；

（2）a=（4，3），b=（—3，8）。

練習(xí)3 已知A（2，1），B（3，8），求。

練習(xí)4 已知（2，3），B（4，5），c（6，8）。

（1）若3=，求D點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）求2—3+2。

這組練習(xí)由學(xué)生獨(dú)立完成。目的是使學(xué)生進(jìn)一步掌握向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等的條件，也體會到對于兩個(gè)向量相加減的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則可以推廣到有限個(gè)向量相加減。對于練習(xí)4中的（2）讓學(xué)生認(rèn)識到先進(jìn)行向量線性運(yùn)算幾何形式的化簡，再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算比較好，也感受到幾何與代數(shù)密不可分。

第三層次：遵循深入淺出的教學(xué)原則，我安排了例題1和練習(xí)5，這是本節(jié)課重點(diǎn)知識的應(yīng)用。

例題1 已知平行四邊形ABcD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、c的坐標(biāo)分別是A（—2，1），B（—1，3），c（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

例題1有多種解法，除了課本中給出的由向量線性運(yùn)算的幾何形式向代數(shù)形式轉(zhuǎn)化的方法，還可以利用向量=或=列方程求解，也可以利用線段Ac、BD的中點(diǎn)E的向量表達(dá)式進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)。但不論哪一種解法都用到了一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)方法──數(shù)形結(jié)合。

講這個(gè)題時(shí)，我板書采用的是課本給出的方法，目的是引導(dǎo)學(xué)生熟練地轉(zhuǎn)化向量線性運(yùn)算的幾何形式和代數(shù)形式，其他的方法則只是給予提示，給學(xué)生留出空間，開闊思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

通過例題1讓學(xué)生深刻理解向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算，親身體會“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非”（華羅庚語）。從而提高學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法解決實(shí)際問題的能力。

練習(xí)5已知A（—2，1），B（1，3），求線段AB中點(diǎn)m和三等分點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)。

練習(xí)5是例題1的進(jìn)一步深入，學(xué)生以小組討論的形式，采用多種方法解題，教師以巡視的方式進(jìn)行個(gè)別引導(dǎo)，并讓有不同解法的學(xué)生上黑板演示，讓學(xué)生動手實(shí)踐、自主探索、合作交流，圍繞中心各抒己見，把思路方法弄清。

通過這個(gè)練習(xí)，學(xué)生可以更熟練地掌握向量直角坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，并使集體智慧個(gè)人化，書本知識靈活化，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。

（四）小結(jié)

為了讓學(xué)生將獲得的知識進(jìn)一步條理化、系統(tǒng)化，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力及練習(xí)后進(jìn)行再認(rèn)識的能力，引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)：

述職報(bào)告之家必讀合輯:
• 高考函數(shù)的解題思想總結(jié)?|?集合與函數(shù)概念思想總結(jié)?|?高考函數(shù)題命題思想總結(jié)?|?高考函數(shù)指導(dǎo)思想總結(jié)?|?空間向量函數(shù)思想總結(jié)?|?空間向量函數(shù)思想總結(jié)

向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算使向量運(yùn)算完全數(shù)量化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，這樣很多的幾何問題就可以通過“數(shù)形結(jié)合”的方法轉(zhuǎn)化為大家熟悉的數(shù)量的運(yùn)算。

（五）布置作業(yè)

為了讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課內(nèi)容，提高自覺學(xué)習(xí)的能力，我布置作業(yè)如下：

1、課本第186頁：練習(xí)A1（1）、2（1）；練習(xí)B 1、2。

2、思考題：3a與a的坐標(biāo)有什么關(guān)系？位置有什么特點(diǎn)？

A組的題用來鞏固向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算，B組的題則讓學(xué)生進(jìn)一步掌握向量直角坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，思考題又為下一節(jié)課的內(nèi)容埋下伏筆。

（六）板書設(shè)計(jì)

在黑板中上方書寫完課題后，將版面分為四部分，從上而下，自左向右，按授課順序書寫授課內(nèi)容，達(dá)到清晰、條理、有序的目的。板書內(nèi)容如下：

課題：6、2、2 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

問題1練習(xí)1 例1 練習(xí)5

結(jié)論1練習(xí)2

問題2練習(xí)3

結(jié)論2練習(xí)4

本節(jié)的說課內(nèi)容到此結(jié)束，謝謝大家。

? 空間向量函數(shù)思想總結(jié) ?